＝256(－1)＋(2＋)x

＝＋m＋2m－256.

(2)由(1)知f′(x)＝－＋mx＝(x－512).

令f′(x)＝0，得x＝512.所以x＝64.

当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数.

所以f(x)在x＝64处取得最小值.

此时n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小.

【变式训练2】(2013上海质检)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).

【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，

则由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.

S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.

所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).

令f(r)＝2.4πr－3πr2，则f′(r)＝2.4π－6πr.

令f′(r)＝0得r＝0.4.所以当0＜r＜0.4，f′(r)＞0；

当0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.

所以r＝0.4时S最大，Smax＝1.51.

题型三　导数与函数零点问题

【例3】 设函数f(x)＝x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.

(1)当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】(1)当m＝3时，f(x)＝x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.

因为f(2)＝，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，)，切线的斜率为－3，

则所求的切线方程为y－＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.

(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).

令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.

当x∈(－∞，m－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函数；

当x∈(m－2，m＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是减函数；

当x∈(m＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函数.