2018-2019学年人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用 小结与复习 学案
2018-2019学年人教A版选修2-2               第一章  导数及其应用 小结与复习    学案第3页

的面积为,则y与y′的关系满足(  )

A.y=y′ B.y=-y′ C.y=y′2 D.y2=y′

答案 D

解析 S△PTQ=×y×|QT|=,∴|QT|=,Q(x-,0),根据导数的几何意义,

kPQ==y′∴y2=y′.故选D.

题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值

例2 已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称.

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)的单调区间及极值;

(3)当x∈[1,5]时,求函数的最值.

解 ∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x),

得-ax3+(a-1)x2-48(a-2)x+b=-ax3-(a-1)x2-48(a-2)x-b,

于是2(a-1)x+2b=0恒成立,∴,解得a=1,b=0;

(2)由(1)得f(x)=x3-48x,∴f′(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4),

令f′(x)=0,得x1=-4,x2=4,令f′(x)<0,得-40,得x<-4或x>4.

∴f(x)的递减区间为(-4,4),递增区间为(-∞,-4)和(4,+∞),

∴f(x)极大=f(-4)=128,f(x)极小=f(4)=-128.

(3)由(2)知,函数在[1,4]上单调递减,在[4,5]上单调递增,对f(4)=-128,f(1)=-47,f(5)=-115,所以函数的最大值为-47,最小值为-128.

小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域,在定义域内解f′(x)>0得增区间,解f′(x)<0得减区间.

(2)求极值时一般需确定f′(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点.

(3)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.

跟踪训练2 已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.