类型二　等价命题的应用

例2　设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

考点　反证法逆否证法

题点　逆否证法

证明　将"若m2＋n2＝2，则m＋n≤2"视为原命题，

则它的逆否命题为"若m＋n＞2，则m2＋n2≠2"．

因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2.

所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．

反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练2　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

考点　反证法和逆否证法

题点　逆否证法

证明　命题"若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1"的逆否命题为"若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0"．

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.

1．下列命题为真命题的是(　　)

A．命题"若x>y，则x>|y|"的逆命题

B．命题"若x＝1，则x2>1"的否命题

C．命题"若x＝1，则x2＋x－2＝0"的否命题

D．命题"若x2>1，则x>1"的逆否命题

考点　四种命题间的相互关系

题点　写出四种命题利用四种命题的关系判断真假

答案　A

解析　对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．

2．命题"若x>1，则x>0"的逆命题是________________，逆否命题是__________________．

考点　四种命题的概念