2020版数学人教A版必修5学案:第一章 1.1.2 第1课时 余弦定理及其应用 Word版含解析
2020版数学人教A版必修5学案:第一章 1.1.2 第1课时 余弦定理及其应用 Word版含解析第3页

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∵C∈(0,π),∴C=.

∴B=π-A-C=π--=,

∴A=,B=,C=.

反思感悟 已知三边求三角,可利用余弦定理的推论先求一个角.

跟踪训练2 在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5,判断三角形的形状.

解 因为a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5,

所以可令a=2k,b=4k,c=5k(k>0).

c最大,cos C=<0,

所以C为钝角,

从而三角形为钝角三角形.

题型二 余弦定理的证明

例3 已知钝角△ABC,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,试借助三角函数定义用a,b,C表示边c.

解 不妨设A为钝角.

如图,作BD⊥CA,交CA延长线于点D.

由三角函数定义,sin C=,cos C=,

∴BD=asin C,CD=acos C.

∴AD=CD-CA=acos C-b.

∴c2=BD2+AD2

=a2sin2C+(acos C-b)2

=a2sin2C+a2cos2C+b2-2abcos C