函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0

要点一　利用导数判断函数的单调性

例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．

证明　f′(x)＝，又x∈，

则cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0，

∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．

规律方法　关于利用导数证明函数单调性的问题：

(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．

(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.

跟踪演练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．

证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.

又0

∴f′(x)＝>0，

故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．

要点二　利用导数求函数的单调区间

例2　求下列函数的单调区间：