2019-2020学年苏教版选修2-2 2.1.3 推理案例赏析 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2  2.1.3  推理案例赏析 教案第3页

将以上各等式两边分别相加,得

(n+1)3-13=3×(12+22+...+n2)+3×(1+2+3+...+n)+n,

即12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1).

类比上述求法,请你求出13+23+33+...+n3的值.

解 ∵24-14=4×13+6×12+4×1+1,

34-24=4×23+6×22+4×2+1,

44-34=4×33+6×32+4×3+1,

...;

(n+1)4-n4=4n3+6n2+4n+1.

将以上各式两边分别相加,得

(n+1)4-14=4×(13+23+...+n3)+6×(12+22+...+n2)+4×(1+2+...+n)+n,

∴13+23+...+n3=[(n+1)4-14-6×n(n+1)·(2n+1)-4×-n]=n2(n+1)2.

反思与感悟 (1)解答本题关键在于弄清原题解题的方法,将所要求值的式子与原题的条件相类比,从而产生解题方法上的迁移.

(2)解答此类问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别,然后进行推测或证明.

跟踪训练2 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面的面积,S4表示截面的面积,那么你类比得到的结论是________.

答案 S=S+S+S

解析 由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比,因此所得到的结论为S=S+S+S.

类型三 合情推理、演绎推理的综合应用

例3 已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆+=1(a>b>0)上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,kPM与kPN之积