方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:作正弦函数图像的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图像上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图像呢?

问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图像?

活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,先引导学生弄清什么是角α的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图像,怎样在x轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图像,就很容易得到y=sinx,x∈R时的图像了.

对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调"所分的等份越细,画出的图像越精确."),再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、、、、、...、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于"列表").第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于"描点").第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于"连线").如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图像的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.

图1

对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z且k≠0上的图像与函数y=sinx在x∈［0,2π］上的图像的形状完全一致,只是位置不同.

于是我们只要将函数y=sinx,x∈［0,2π］的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)

图2

讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图像.

②左、右平移,每次2π个长度单位即可.