虚数单位i的幂的周期性 　　

　　[例1]　求1＋i＋i2＋...＋i2 014的值．

　　[思路点拨]　利用in的性质计算，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，还可以利用等比数列求和来解．

　　[精解详析]　法一：1＋i＋i2＋...＋i2 014

　　＝＝＝＝i.

　　法二：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N )，

　　∴1＋i＋i2＋...＋i2 014

　　＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋...＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋i2 013＋i2 014

　　＝1＋i－1＝i.

　　[一点通]　等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N )．

　　1．若 ＝－，则 2 014＋ 102＝ .

　　解析：∵ 2＝2＝－i，

　　∴ 2 014＋ 102＝(－i)1 007＋(－i)51

　　＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3

　　＝i＋i＝2i.

　　答案：2i

　　2．设 1＝i4＋i5＋i6＋...＋i12， 2＝i4·i5·i6 ·... ·i12，则 1与 2的关系为 1 2(用"＝"或"≠"填)．

　　解析：∵ 1＝＝＝1，

　　 2＝i4＋5＋6＋...＋12＝i＝i72＝(i4)18＝1，

　　∴ 1＝ 2.

答案：＝