1.组合数的性质1:.
一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数,即:.在这里,主要体现:"取法"与"剩法"是"一一对应"的思想
证明:∵
又 ,∴
说明:①规定:;
②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;
③或.
2.组合数的性质2:=+.
一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m 1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,"含与不含其元素"的分类思想.
证明:
∴=+.