所以|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，

　　|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，

　　所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.

　　所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

　　　绝对值三角不等式的综合应用[学生用书P14]

　　　设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．

　　(1)若|a|≤1，求|f(x)|的最大值；

　　(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.

　　【解】　(1)因为|x|≤1，|a|≤1，

　　所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|

　　＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x|

　　＝1－|x2|＋|x|

　　＝－|x|2＋|x|＋1

　　＝－＋≤.

　　所以|x|＝时，|f(x)|取得最大值.

　　(2)当a＝0时，f(x)＝x；

　　当－1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1，

　　不满足题设条件，所以a≠0.

　　又f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1，

　　故f(±1)均不是最大值．

　　所以f(x)的最大值应在其对称轴上顶点位置取得，

　　所以a＜0.

　　所以命题等价于

　　⇒⇒

　　所以a＝－2.

　　本题第(1)问属于绝对值函数的最值，综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．　

　　　设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求

　　(1)y的最小值；

　　(2)使y＜a有解的a的取值范围；

(3)使y≥a恒成立的a的最大值．