利用定义求导数分三步:①求Δy;②求;③.

三、导数定义的应用

【例3】 已知一物体的运动方程是

求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.

分析：要求瞬时速度就是求s′(t).

解：当t=1时，

==6+3Δt,

所以s′(1)=limΔt→0(6+3Δt)=6.

即当t=1时的瞬时速度为6.

当t=4时，=,

所以s′(4)=limΔt→0(6+3Δt)=6.

即当t=4时的瞬时速度为6.

温馨提示

本题是以分段函数的形式给出了运动方程，求解时要根据t的值选取函数的解析式.

各个击破

类题演练1

求函数y=x3-2,当x=2时,的值.

答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x3-2)

=(2+Δx)3-23

=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx.

∴=(Δx)2+6Δx+12.

变式提升 1

如果一个质点从定点A开始运动，在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,当t1=4且Δt=0.01时,求Δy和.

答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x3-2)

=(2+Δx)3-23

=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx.

∴=(Δx)2+6Δx+12.

解:Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3

=Δt3+48Δt+12Δt2=(0.01)3+48×(0.01)+12×(0.01)2=0.481 201.