例2　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

考点　等差数列的判定

题点　判断数列是否为等差数列

解　取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，

求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]

＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.

它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列.

由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，

所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.

反思与感悟　根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质.

跟踪训练2　若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则使ak·ak＋1<0的k值为________.

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　等差数列公差有关问题

答案　23

解析　由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－，

又a1＝15，∴{an}是首项为15，公差为－的等差数列，

∴an＝a1＋(n－1)d＝15＋(n－1)×

＝－n＋.

令an＝0，解得n＝＝23.5，

∵d＝－，数列{an}是递减数列，

∴a23>0，a24<0，∴k＝23.

类型三　等差数列性质的应用

例3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.

考点　等差数列的性质

题点　利用等差数列项数的规律解题