①-②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2.

代入①式，得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，

故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.

∴cos〈a，b〉===.

又∵0°≤〈a，b〉≤180°，

∴〈a，b〉=60°，即a与b的夹角为60°.

变式训练4 已知△ABC中，a=5，b=8，BC·CA=-20，试求∠C.有位同学求解如下：

解：如图2-3-5，∵||=a=5，||=b=8，

图2-3-5

∴cos∠C===-.

又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.

这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？

思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于与两向量的起点并不同，故∠C≠〈，〉，

而是∠C+〈，〉=180°，则cos〈，〉===-.

又∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉=120°.∴∠C=60°.

答案:这位同学的解答不正确，∠C=60°.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.

例2 已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)⊥(a-b).

思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零，也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.

证法一：∵|2a+b|=|a+2b|，

∴(2a+b)2=(a+2b)2.

∴4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2 .

∴a2=b2.

∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.

又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，

∴(a+b)⊥(a-b).