4.函数的单调性、极值与导数

(1)函数的单调性与导数

如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内单调递增；f′(x)<0，则f(x)在此区间内单调递减．

(2)函数的极值与导数

已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．

极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．

5．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．

(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

类型一　导数几何意义的应用

例1　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

考点　切线方程的求解及应用

题点　求在某点的切线方程

解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0),

∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,

∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0.

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；