2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5学案:第一讲一3.三个正数的算术 几何平均不等式 Word版含解析
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5学案:第一讲一3.三个正数的算术 几何平均不等式 Word版含解析第2页

  ≥3×3=9,

  即++≥,当且仅当a-b=b-c=c-d时,等号成立.

  

  证明不等式的方法

  (1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件,看是否满足"一正、二定、三相等"的条件.若满足即可利用平均不等式证明.

  (2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式的式子. 

   1.已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.

  证明:因为x>0,y>0,

  所以1+x+y2≥3>0,

  1+x2+y≥3>0,

  故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.

  2.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.

  证明:因为x>0,y>0,x-y>0,

  所以2x+-2y

  =2(x-y)+

  =(x-y)+(x-y)+

  ≥3=3,

  等号成立的条件是=x-y,即x-y=1.

  所以2x+≥2y+3.

   利用三个正数的算术­几何平均不等式求最值[学生用书P10]

   求函数y=x+(x>1)的最小值.

  【解】 因为x>1,所以x-1>0,y=x+

  =(x-1)+(x-1)++1

  ≥3+1=4,

当且仅当(x-1)=(x-1)=,