由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.

(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，

因为OF＝2－r＝1，即r＝1，

所以OB是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，

则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT＝2.

题型三　四点共圆问题

【例3】如图，圆O与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.

(1)求证：B、P、E、F四点共圆；

(2)若CD＝2，CB＝2，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.

【解析】(1)证明：连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.

又因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，

所以B，P，E，F四点共圆.

(2)因为B，P， E，F四点共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.

因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝2，

所以由切割线定理CB2＝CD·CE，得CE＝4，DE＝2，BP＝1.

又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，所以EF∶PB＝CE∶CB，得EF＝.

在Rt△FEP中，PF＝＝，

即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.

【变式训练3】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.求证：

(1)O，B，D，E四点共圆；

(2)2DE2＝DM·AC＋DM·AB.

【证明】(1)连接BE，则BE⊥EC.

又D是BC的中点，所以DE＝BD.

又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四点共圆.

(2)延长DO交圆O于点H.

因为DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH＝DM·(AC)＋DM·(AB)，

所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.

总结提高

1.直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系.

本章在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据.

2.圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解.