2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.

疑难突破

1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？

剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.

①从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.

②从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号"·"在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用"×"代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.

③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a,b〉=；在向量的数乘中，若λa=0，则λ=0或a=0；在实数的乘法中，若a·b=0，则a=0或b=0.

在向量的数量积中：a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a－c)〉=；在向量的数乘中，λa=λb（λ∈R）a=b或a≠b；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.

在向量的数量积中：(a·b)c≠a·（b·c)；在向量的数乘中，（λｍ）a=λ(ｍa)（λ∈R,m∈R）；在实数的乘法中，有(a·b）c=a·（b·c).

④从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|λ|倍.

2.如何应用|a|=来求平面内两点间的距离？

剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.

例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.

图2-5-3

解：设=a，=b.

则|a|=3，|b|=1，〈a,b〉=.

∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉=.

又∵=a+b,=a-b，