A．y＝y′ B．y＝－y ′C．y＝y′2 D．y2＝y′

答案　D

解析　S△PTQ＝×y×|QT|＝，∴|QT|＝，Q(x－，0)，根据导数的几何意义，

kPQ＝＝y′∴y2＝y′.故选D.

题型二　利用导数研究函数的单调性、极值、最值

例2　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间及极值；

(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．

解　∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，

于是2(a－1)x＋2b＝0恒成立，∴，解得a＝1，b＝0；

(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，

令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－40，得x<－4或x>4.

∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，

∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128.

(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.

小结　(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间．

(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．

(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．

跟踪训练2　已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.

(1)求a，b的值；

(2)求函数的极小值；

(3)求函数在[－1,1]的最值．