2017-2018学年人教A版选修1-2 反证法 教案
2017-2018学年人教A版选修1-2    反证法   教案第2页

1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次)

2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题:"过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆". 讨论如何证明这个命题?

3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点,

则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,

即O是l与m的交点。

但 ∵A、B、C共线,∴l∥m(矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.

二、讲授新课:

1. 教学反证法概念及步骤:

① 练习:仿照以上方法,证明:如果a>b>0,那么

② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.

 证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立

 应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).

 方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.

注:结合准备题分析以上知识.

2. 教学例题:

① 出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾?

与教材不同的证法:反设AB、CD被P平分,∵P不是圆心,连结OP,

则由垂径定理:OPAB,OPCD,则过P有两条直线与OP垂直(矛盾),∴不被P平分.

② 出示例2:求证是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为)

  证:假设是有理数,则不妨设(m,n为互质正整数),

从而:,,可见m是3的倍数.

设m=3p(p是正整数),则 ,可见n 也是3的倍数.

这样,m, n就不是互质的正整数(矛盾). ∴不可能,∴是无理数.

③ 练习:如果为无理数,求证是无理数.

  提示:假设为有理数,则可表示为(为整数),即.

由,则也是有理数,这与已知矛盾. ∴ 是无理数.

3. 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围("至多"、"至少"、"均是"、"不都"、"任何"、"唯一"等特征的问题)

三、巩固练习: 1. 练习:

2. 作业: