证明　假设是有理数．于是，

存在互质的正整数m，n，

使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2，

所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有

4k2＝2n2，即n2＝2k2，

所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．

由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数．

反思与感悟　当结论中含有"不"、"不是、"不可能"、"不存在"等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．

跟踪训练2　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．

证明　假设，，成等差数列，则

＋＝2，即a＋c＋2＝4b，

而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，

∴(－)2＝0.即＝，

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故，，不成等差数列．

探究点四　含至多、至少、唯一型命题的证明

例3　若函数f(x)在区间a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间a，b]上至多有一个实根．

证明　假设方程f(x)＝0在区间a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在a，b]上是增函数，所以f(α)

反思与感悟　当一个命题的结论有"最多"、"最少"、"至多"、"至少"、"唯一"等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．

跟踪训练3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.

证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

所以a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π