空间向量数量积的计算问题的解题思路

　　(1)在几何体中求空间向量数量积的步骤

　　①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；

　　②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；

　　③代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

　　(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件．　

　　　1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝________．

　　解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13.

　　答案：13

　　2．如图，已知正四面体OABC的棱长为1.

　　求：(1)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)；

　　(2)(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))·(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))．

　　解：在正四面体OABC中，|\s\up6(→(→)|＝|\s\up6(→(→)|＝|\s\up6(→(→)|＝1，

　　〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝60°.

　　(1)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|·cos∠AOB

　　＝1×1×cos 60°＝.

　　(2)(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))·(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))

　　＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))·(\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→))

　　＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))·(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)－2\s\up6(→(→))

　　＝\s\up6(→(→)2＋2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)－2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)2－2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)

＝12＋2×－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°