【范例3】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。

（I）求f(x)的解析式；

（II）是否存在实数m使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

解：（I）是二次函数，且的解集是

可设

 f(x)在区间上的最大值是

由已知，得

（II）方程等价于方程

设则

当时，是减函数；

当时，是增函数。

　　方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，

所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。

变式：设f(x)＝l-2x2，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则F(x)的最大值为__________．

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