2018-2019学年人教B版必修4 3.1和角公式 学案(1)
2018-2019学年人教B版必修4 3.1和角公式 学案(1)第2页

=sin=.

例2已知α、β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,则cos(α+)=________________.

思路解析:考查三角函数求值以及角的变换.利用α+=(α+β)-(β-)来求值.∵α、β∈(,π),∴(α+β)∈(,2π).

∴cos(α+β)=1-sin2(α+β)=.又(β-)∈(,),∴cos(β-)=-.

∴cos(α+)=cos[(α+β)-(β-)]

=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)=(-)+(-)=-.

答案:-

绿色通道:本题属于"知值求值"的题目,"变角"的技巧在于三角函数求值以及证明中常用,因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α+2β=(α+β)+β等,变换的方式很多,需要自己慢慢的体会和探索.

黑色陷阱:求解时如果将sin(α+β)和sin(β-)展开,通过解方程组求sinβ和cosβ,那么运算量会很大,会因解方程组而陷入困境.

变式训练1 已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈(0,),求cosβ的值.

思路分析:观察得β=(α+β)-α,再利用两角差的余弦公式展开,求出结果.

解:∵α、β∈(0,),

∴0<α+β<π.

∵cosα=,cos(α+β)=-,

∴sinα=1-cos2α==,

sin(α+β)= =-=.

∴cosβ=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

=-×+×=.

∴cosβ=.