题型二　有放回抽样与不放回抽样

【例2】 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.

(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.

【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种；设事件A为"连续3次都取正品"，则包含的基本事件共有8×8×8＝83 种，因此，P(A)＝＝0.512.

(2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x，y，z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8＝720种.设事件B为"3件都是正品"，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6＝336， 所以P(B)＝≈0.467.

方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120.按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝≈0.467.

【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.

【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：

(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.

【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取两张卡片共有10种，所以概率为P＝＝；

(2)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取两张卡片共有25种，所以概率为P＝＝.

题型三　古典概型问题的综合应用

【例3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.

(1)若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；

(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.

【解析】(1)记"取到的4个球全是红球"为事件A，

P(A)＝·＝×＝.

(2)记"取到的4个球至多有1个红球"为事件B，"取到的4个球只有1个红球"为事件B1，"取到的4个球全是白球"为事件B2.

由题意，得P(B)＝1－＝.