请同学们写出圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.

　　把圆的标准方程展开，并整理：

x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 -r2=0.

　　取D = -2a，E = -2b，F = a2 + b2 - r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①

　　这个方程是圆的方程.

　　反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

　　把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得

②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

　　（1）当D2 + E2 - 4F＞0时，方程②表示以为圆心，

为半径的圆；

　　（2）当D2 + E2 - 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点；

　　（3）当D2 + E2 - 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.

　　只有当D2 + E2 - 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程. 　　例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

　　（1）4x2 + 4y2 - 4x + 12y + 9 = 0

　　（2）4x2 + 4y2 - 4x + 12y + 11 = 0

　　解析：（1）将原方程变为

　　x2 + y2 - x + 3y += 0

　　D = -1，E =3，F =.

　　∵D2 + E2 - 4F = 1＞0

　　∴此方程表示圆，圆心（，），半径r =.

　　（2）将原方程化为

　　x2 + y2 - x + 3y += 0

　　D = -1，E =3，F =.

　　D2 + E2 - 4F = -1＜0

　　∴此方程不表示圆. 　　例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

　　分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.

　　解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

　　∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：

　　即

　　解此方程组，可得：D= -8，E=6，F = 0

　　∴所求圆的方程为：x2 + y2 - 8x + 6y = 0

　　；

　　.

　　得圆心坐标为(4，-3).

　　或将x2 + y2 - 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，-3).