2018-2019学年人教A版选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数(二) 学案
2018-2019学年人教A版选修2-2    1.3.2 函数的极值与导数(二)  学案第2页

题点 极值存在性问题

答案 (1)(-∞,1) (2)B

解析 (1)f′(x)=x2-2x+a,由题意,得方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1.

(2)∵f(x)=x(ln x-ax),

∴f′(x)=ln x-2ax+1,且f(x)有两个极值点,

∴f′(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点,

令f′(x)=0,则2a=,

设g(x)=,则g′(x)=,

∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

又∵当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,

而g(x)max=g(1)=1,

∴只需0<2a<1,即0

引申探究

1.若本例(1)中函数的极大值点是-1,求a的值.

解 f′(x)=x2-2x+a,

由题意得f′(-1)=1+2+a=0,

解得a=-3,则f′(x)=x2-2x-3,经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值.

2.若本例(1)中函数f(x)有两个极值点,均为正值,求a的取值范围.

解 由题意,得方程x2-2x+a=0有两个不等正根,设为x1,x2,则

解得0

故a的取值范围是(0,1).

反思与感悟 函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)=0根的问题.