2018-2019学年人教A版 选修2-2 1.5.3 定积分的概念 学案
2018-2019学年人教A版 选修2-2 1.5.3 定积分的概念 学案第2页

  代替,求和,取极限的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

  2.定积分的概念

  如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<...<xi-1<xi<...<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,...,n)作和式nf(ξi)Δx=n n(b-a)f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=b-af(ξi).其中a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.

  思考:f(x)dx是一个常数还是一个变量?f(x)dx与积分变量有关系吗?

  [提示]由定义可得定积分f(x)dx是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量没有关系,即f(x)dx=f(t)dt=f(u)du.

  3.定积分的几何意义与性质

  (1)定积分的几何意义

  由直线x=a,x=b(a<b),x轴及一条曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S,则有:

  

  ① ② ③

  图152

  ①在区间[a,b]上,若f(x)≥0,则S=f(x)dx,如图152①所示,即f(x)dx=S.

  ②在区间[a,b]上,若f(x)≤0,则S=-f(x)dx,如图152②所示,即f(x)dx=-S.

③若在区间[a,c]上,f(x)≥0,在区间[c,b]上,f(x)≤0,则S=f(x)dx-f(x)dx,如图152③所示,即f(x(b)(SA,SB表示所在区域的面积).