第4课时　双曲线及其标准方程

基础达标(水平一 )

1.已知双曲线x^2/16-y^2/9=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为(　　).

　　A.7 B.23 C.5或25 D.7或23

　　【解析】设点F1(-5,0),F2(5,0),

　　则由双曲线的定义知 PF1|-|PF2 =2a=8,

　　而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23.

　　【解析】D

2.已知双曲线x^2/4-y^2/5=1上一点P到点F(3,0)的距离为 6,O为坐标原点,(OQ) ⃗=1/2((OP) ⃗+(OF) ⃗),则|(OQ) ⃗|=(　　).

　　A.1 B.5 C.2 或 5 D.1 或 5

　　【解析】设双曲线的另一个焦点为F1,则由双曲线的定义知 PF1|-|PF =4,所以|PF1|=2或10.因为(OQ) ⃗=1/2((OP) ⃗+(OF) ⃗),所以Q为PF的中点.又因为O为F1F的中点,所以|(OQ) ⃗|=1/2|(PF_1 ) ⃗|=1或5,故选D.

　　【答案】D

3.设F1、F2分别是双曲线x2-y^2/24=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　).

　　A.4√2 B.8√3 C.24 D.48

　　【解析】由3|PF1|=4|PF2|知,|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6.又∵c2=a2+b2=25,∴c=5,∴|F1F2|=10,∴△PF1F2为直角三角形,

　　∴S_("△" PF_1 F_2 )=1/2|PF1|·|PF2|=1/2×8×6=24.

　　【答案】C

4.设P是双曲线x^2/9-y^2/16=1右支上的一点,M和N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(　　).

　　A.6 B.7 C.8 D.9

　　【解析】设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=6,

　　由数形结合可知,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,

　　∴(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=6+3=9.

　　【答案】D

5.已知点P(2,-3)是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)上的一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是　　　　.

　　【解析】由题意知c=2,设该双曲线方程是x^2/a^2 -y^2/(4"-" a^2 )=1,

　　把点P(2,-3)代入,得4/a^2 -9/(4"-" a^2 )=1,

　　解得a2=1或a2=16(舍去).

　　所以该双曲线方程为x2-y^2/3=1.

【答案】x2-y^2/3=1