7.若函数f(x)=(x^2+a)/(x+1)在x=1处取得极值,则a=　　　　　.

解析:∵f'(x)=((x^2+a)/(x+1))'

　　=("(" x^2+a")'(" x+1")-(" x^2+a")(" x+1")'" )/("(" x+1")" ^2 )=(x^2+2x"-" a)/("(" x+1")" ^2 ),

　　又函数f(x)在x=1处取得极值,

　　∴f'(1)=0.∴1+2×1-a=0,∴a=3.

　　验证知a=3符合题意.

答案:3

8.已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1. 学 ]

(1)设a=2,求f(x)的单调区间;

(2)设f(x)在区间(2,3)内至少有一个极值点,求a的取值范围.

解(1)当a=2时,f(x)=x3-6x2+3x+1,

　　f'(x)=3(x-2+√3)(x-2-√3).

　　当x∈(-∞,2-√3)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,2-√3)上是增加的;

　　当x∈(2-√3,2+√3)时,f'(x)<0,f(x)在(2-√3,2+√3)上是减少的;

　　当x∈(2+√3,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(2+√3,+∞)上是增加的.

　　综上所述,f(x)的递增区间为(-∞,2-√3)和(2+√3,+∞),f(x)的递减区间为(2-√3,2+√3).

　　(2)f'(x)=3[(x-a)2+1-a2].

　　当1-a2≥0时,f'(x)≥0,f(x)在(2,3)上是增加的,故f(x)无极值点;

　　当1-a2<0时,f'(x)=0有两个根x1=a-√(a^2 "-" 1),x2=a+√(a^2 "-" 1).

　　由题意,知2

　　或2

　　①无解,②的解为5/4

　　故a的取值范围是(5/4 "," 5/3).

★9.已知函数f(x)=a/3x3+bx2+cx+d(a>0),且f'(x)-9x=0的两根分别为1,4.

(1)当a=3,且y=f(x)的图像过原点时,求f(x)的解析式;

(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.

解(1)由f(x)=a/3x3+bx2+cx+d,

　　得f'(x)=ax2+2bx+c. 学 ]

　　∵f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4,

　　∴{■(a+2b+c"-" 9=0"," @16a+8b+c"-" 36=0"," @a=3"," )┤∴{■(a=3"," @b="-" 3"," @c=12"." )┤

　　又f(x)=a/3x3+bx2+cx+d的图像过原点,

∴d=0,∴f(x)=x3-3x2+12x.