(2)∵a>0,∴f(x)=a/3x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点等价于f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立.

　　由(1)知a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,

　　∴2b=9-5a,c=4a.

　　∵f'(x)≥0在(-∞,+∞)内恒成立,

　　∴Δ=(2b)2-4ac=(9-5a)2-16a2

　　=9(a-1)(a-9)≤0,解得1≤a≤9.

　　故a的取值范围为[1,9].

★10.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;

(2)当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.

解(1)∵当a=0时,f(x)=x2ex,f'(x)=(x2+2x)ex,

　　∴f'(1)=3e.

　　∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

　　(2)f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.

　　令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.

　　由a≠2/3,得-2a≠a-2.

　　以下分两种情况讨论:

　　若a>2/3,则-2a

x (-∞,-2a) -2a 学 ] (-2a,a-2) 学 ] a-2 (a-2,+∞) 学 Z ] f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ Z 极大值 ↘ 极小值 ↗

由表可知,f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增加的,在(-2a,a-2)上是减少的.

　　故函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;

　　函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 学 ]

　　若a<2/3,则-2a>a-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 学 ]

x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 学 ] ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

由表可知,f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增加的,在(a-2,-2a)上是减少的.

　　故函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;

　　函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.