由双曲线的第二定义，可得PF1=e(x0+)=ex0+a,PF2=e(x0-)=ex0-a.

∵PF1=4PF2，∴ex0+a=4(ex0-a).

解得e=·，∵x0≥a＞0，∴当且仅当x0=a时，e取最大值.

4.求满足下列条件的双曲线方程：

（1）以2x±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）；

（2）与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.

解：（1）设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ,点（1，2）在双曲线上，点的坐标代入方程可得λ=-32，

∴所求双曲线方程为4x2-9y2=-32,

即=1.

(2)由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为（±2，0），又双曲线的一条渐近线方程为y-x=0,则另一条渐近线方程为y+x=0.设所求双曲线方程为3x2-y2=λ(λ＞0),则a2=,b2=λ.

∴c2=a2+b2==4,即λ=3.

故所求的双曲线方程为x2-=1.

5.中心在原点的双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4,-1),圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.

解：∵点A与圆心O的连线的斜率为，

∴过A的圆的切线的斜率为4.

∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.

设双曲线方程为x2=λ.

∵点A（4，-1）在双曲线上，

∴16=λ，λ=.

∴双曲线的标准方程为=1.

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）

1.设P是双曲线-=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双