10答案：解：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝，

　　当x∈时，f′(x)的最大值为；令＋2a＞0，得，

　　所以，当时，f(x)在上存在单调递增区间.

　　(2)令f′(x)＝0，得两根，.

　　所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.

　　当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2).

　　又f(4)－f(1)＝＋6a＜0，即f(4)＜f(1)，

　　所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝，得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.