∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，

即a与a+b的夹角为30°.

4.若(a+b)⊥(2a-b)，(a-2b)⊥(2a+b)，试求a与b的夹角的余弦值.

解：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b)有

∴a2=b2,|a|2=|b|2,|a|=|b|.

由2a2+a·b-b2=0得

a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=|b|2，

∴cosθ=.

∴a、b的夹角的余弦值为.

5.已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?

解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0，

∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.

∴m=±.

∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.若向量a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )

A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）·c=a·c+b·c

C.（a·b）c=a（b·c） D.m（a+b）=ma+mb

解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题.

（a·b）·c≠a·（b·c）.

答案：C

2.已知a、b、c为任意非零向量，若a=b，则下列命题：

①|a|=|b|；②a2=b2；③a2=a·b；④c·（a-b）=0.正确的有( )

A.①③ B.①②④

C.②③④ D.①②③④

解析：a=b|a|=|b|；a2=b2；a2=a·b；c·（a-b）=0，而四个命题均不能推出a=b成立.

答案：D

3.对任意向量a、b，|a||b|与a·b的大小关系是( )

A.|a||b|＜a·b B.|a||b|＞a·b

C.|a||b|≥a·b D.两者大小不定