答案:8

7.已知椭圆 x^2/4+y^2/2=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上.若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是　　　　　.

解析:由椭圆的方程可知a=2,c=√2,且|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|=3,|PF2|=1,因为|F1F2|=2c=2√2,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即三角形PF2F1为直角三角形,且∠PF2F1=90°,所以△PF1F2的面积S=1/2|F1F2||PF2|=1/2×2√2×1=√2.

答案:√2

8.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为　　　　　.

解析:根据题意不妨设A(m,m2),B(-m,m2),C(x,x2),则由题意易知(AC) ⃗⊥(BC) ⃗,故(x-m,x2-m2)·(x+m,x2-m2)=x2-m2+(x2-m2)2=0⇒m4-(2x2+1)m2+(x2+x4)=0,(m2-x2)(m2-x2-1)=0⇒m2=x2+1∈[1,+∞).从而可知a∈[1,+∞).

答案:[1,+∞)

9.抛物线y2=2px(p>0)上有两个动点A,B及一个定点M(x0,y0),F是抛物线的焦点,且|AF|,|MF|,|BF|成等差数列.求证:线段AB的垂直平分线经过定点Q(x0+p,0).

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,知|AF|=x1+p/2,|BF|=x2+p/2,|MF|=x0+p/2.

　　因为|AF|,|MF|,|BF|成等差数列,

　　所以2|MF|=|AF|+|BF|,即x0=(x_1+x_2)/2.

　　设线段AB的中点为(x0,t),

　　则t=(y_1+y_2)/2,kAB=(y_1 "-" y_2)/(x_1 "-" x_2 )=(y_1 "-" y_2)/((y_1^2)/2p "-" (y_2^2)/2p)=2p/(y_1+y_2 )=p/t,

　　所以线段AB的垂直平分线方程为y-t=-t/p(x-x0),即t[x-(x0+p)]+py=0,

　　所以线段AB的垂直平分线经过定点(x0+p,0).

★10.已知椭圆G:x^2/4+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;

(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.

解(1)由题意得a=2,b=1,

　　∴c=√(a^2 "-" b^2 )=√3.

　　故椭圆G的焦点坐标为(-√3,0),(√3,0),

离心率为e=c/a=√3/2.