空间向量的运算及应用

　　基础知识整合

　　1．空间向量的有关定理

　　(1)共线向量定理

　　对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使\s\up3(01(01)a＝λb.

　　(2)共面向量定理

　　如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使\s\up3(02(02)p＝xa＋yb.

　　(3)空间向量基本定理

　　如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得\s\up3(03(03)p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个\s\up3(04(04)基底．

　　推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使\s\up6(→(→)＝\s\up3(05(05)x\s\up6(→(→)＋y\s\up6(→(→)＋z\s\up6(→(→).

　　2．数量积及坐标运算

　　(1)两个向量的数量积

　　①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

　　②a⊥b⇔\s\up3(06(06)a·b＝0(a，b为非零向量)．

　　③|a|2＝\s\up3(07(07)a2，|a|＝.

　　(2)空间向量的坐标运算

　　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

　　①|a|＝；

　　②a＋b＝\s\up3(08(08)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；

　　③a－b＝\s\up3(09(09)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；

　　④λa＝\s\up3(10(10)(λa1，λa2，λa3)；

　　⑤a·b＝\s\up3(11(11)a1b1＋a2b2＋a3b3；

　　⑥设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

　　\s\up6(→(→)＝\s\up3(12(12)(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；

　　⑦cos〈a，b〉＝\s\up3(13(13) .

　　点共线和点共面问题

　　(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A，B，C三个点共线，即证明\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)共线(或A\s\up6(→(→)与B\s\up6(→(→)共线；或A\s\up6(→(→)与B\s\up6(→(→)共线)．

(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，