2.3　数学归纳法

学习目标 重点难点 1．了解数学归纳法的原理．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 重点：数学归纳法的原理．

难点：数学归纳法的应用. 　　

　　数学归纳法

　　一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有__________公理：

　　如果(1)当n取第一个值__________时结论正确；

　　(2)假设当________(k∈N*，且k≥n0)时__________，证明当__________时结论也正确．

　　那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．

　　预习交流1

　　做一做：用数学归纳法证明1＋2＋3＋...＋n＝(n∈N*)，从k到k＋1时，左端增加的式子为________．

　　预习交流2

　　用数学归纳法应注意哪些步骤？

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 　　答案：

　　预习导引

　　数学归纳法　(1)n0(例如n0＝1,2等)　(2)n＝k

　　结论正确　n＝k＋1

　　预习交流1：提示：k＋1

　　预习交流2：提示：两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．

　　用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n＝k＋1时为什么成立．n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明．

用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都可用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．