一、用数学归纳法证明等式或不等式

　　证明12－22＋32－42＋...＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．

　　思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化，即由n＝k到n＝k＋1时，左右两边各增添哪些项．

　　用数学归纳法证明：

　　＋＋...＋＝＋＋...＋.

　　可用数学归纳法来证明关于自然数n的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n＝k＋1时成立，必须用到假设n＝k成立的结论．

　　二、用数学归纳法证明几何问题

　　有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．

　　思路分析：由k到k＋1时，研究第k＋1个圆与其他k个圆的交点个数问题．

　　证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4)．

　　(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜出一般结论．

　　(2)关键步骤的证明可以先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明．

　　(3)几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．

　　三、归纳-猜想-证明

　　已知等差数列{an}，等比数列{bn}，且a1＝b1，a2＝b2(a1≠a2)，an＞0(n∈N*)．

　　(1)比较a3与b3，a4与b4的大小，并猜想an与bn(n≥3)的大小关系；

　　(2)用数学归纳法证明猜想的正确性．

　　思路分析：数列的通项公式应注意由n＝k到n＝k＋1时的变化情况，增加哪些项是难点，注意观察寻找规律．

　　数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*.

　　(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

　　(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

　　观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的也可能是错误的，需要由数学归纳法证明．

　　1．设f(n)＝1＋＋＋＋...＋，则f(k＋1)－f(k)＝________.

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋...＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为__________．