课堂导学

三点剖析

一、利润最值

【例1】 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24 200-x2，且生产x吨的成本为R=50 000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

解：每月生产x吨时的利润为

f(x)=(24 200-x2)x-(50 000+200x)

=-x3+24 000x-50 000(x≥0)，

由f′(x)=x2+24 000=0，

解得x1=200,x2=-200（舍去）.

因f(x)在［0,+∞)内只有一个点x=200使f′（x）=0，

故它就是最大值点，且最大值为

f(200)=-(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

温馨提示

用导数解应用题，求最值一般方法是求导，使导数等于0，求y′=0的根，求出最值点，最后写出解答.

二、生活中的优化问题

【例2】 已知某厂生产x件产品的成本为

c=25 000+200x+x2(元).

（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？

（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

解：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.

（1）设平均成本为y元，则

y=(x＞0)，

y′=.

令y′=0,得x1=1 000,x2=-1 000(舍去).

当在x=1 000附近左侧时，y′＜0；

在x=1 000附近右侧时，y′＞0；

故当x=1 000时，y取得极小值.

由于函数只有一个点使y′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.

(2)利润函数为L=500x-(25 000+200x+)=300x-25 000-.