1．3.3　导数的实际应用

明目标、知重点　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

导数在实际问题中的应用

1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．

2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值．

[情境导学]

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．

探究点一　面积、体积的最值问题

思考　如何利用导数解决生活中的优化问题？

答　(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．

(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．

(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．

(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．

例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

解　设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为

S(x)＝(x＋4)－128

＝2x＋＋8，x>0.