§3 三角函数的简单应用

知识梳理

解三角函数应用题的步骤：

第一步，理解材料，审清题意.

三角函数应用题的语言形式多为"文字语言和图形语言"并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.

第二步，搜集整理数据，建立数学模型.

根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.

第三步，讨论变量关系.

根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论考查的有关性质，从而得到所求问题的理论参考值.

第四步，作出结论.

根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论.

知识导学

1.实际问题中通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算器或计算机.

2.画散点图时，力求准确，否则影响选择函数模型.

3.本节的难点是建立三角函数模型.

难疑突破

1.在实际问题中，如何确定函数模型是三角函数？

剖析：难点是面对实际问题时，不知道是不是三角函数模型.其突破路径有两条：一是根据经验，在实际问题中，如果该过程是重复做一件事情，那么可以考虑该函数模型是三角函数模型；二是先确定自变量x和因变量y，再画出散点图，观察散点图，如果各个点均在某一三角函数图象附近，那么就可认为该函数模型是三角函数模型.通常情况下，这两种方法相互结合并充分利用数形结合的思想来确定三角函数模型.

在解决实际问题中还需要注意以下几点:

(1)自变量x的变化范围；

(2)数形结合，通过观察图形，获得本质认识；

(3)要在实际背景中抽取基本的数学关系较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想、运用适当的数学模型；

(4)涉及复杂的数据，往往需要借助使用信息技术工具.

2.根据所给数据如何确定三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b（A＞0，ω＞0）中各参数的值？

剖析：难点是所给数据和参数A、ω、φ、b的大小联系不到一起.突破口是掌握参数A、ω、φ、b的取值与其图像的相互影响.

通常情况下，所给数据包括了"五点法"画图中的五个关键点.当所给数据中因变量的最大值为m，最小值是n时，有A＋b=m，-A+b=n，可依此确定A和b的值；观察数据并结合散点图，自变量每个"一段"，对应的因变量的取值就重复，则最小的"一段"就是函数的周期K，有=K，得ω=；当参数A、ω、b均已确定时，根据某个特殊关键点的坐标（s，t）得到方程t=Asin(ωx+φ)+b，再结合φ的取值范围确定φ的值.

由此可见，A和b影响函数的最值，ω影响函数的周期，φ影响函数的初相.对于确定φ的值是难点也是容易出错的地方，其突破途径还要靠平时经验的积累.