课堂导学

三点剖析

一,熟悉反证法证明不等式的步骤

【例1】 设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x0、y0∈［0,1］，使|x0y0-f(x0)-g(y0)|≥.

证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y均有|xy-f(x)-g(y)|<，考虑对x,y在［0,1］内取特殊值:

(1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|<,∴|f(0)+g(0)|<;

(2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|<,∴|f(1)+g(0)|<;

(3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|<,∴|f(0)+g(1)|<;

(4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|<,∴|1-f(1)-g(1)|<.

∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),

∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|<+++=1.

∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.

各个击破

类题演练1

求证:如果a>b>0，那么(n∈N且n>1).

证明:假设不大于有两种情况:或者.由推论2和定理1，当时，有ab>0矛盾，所以.

变式提升1

求证:如果a>b>0,那么<.

证明:假设≥,

则-=≥0.

∵a>b>0,∴a2b2>0.

∴b2-a2=(b+a)(b-a)≥0.

∵a>b>0,∴b+a>0.

∴b-a≥0,即b≥a.

这与已知a>b矛盾.

∴假设不成立，原结论<成立.

二、什么时候用反证法证明不等式