2017-2018人教A版选修2-12.2.1 双曲线及其标准方程
2017-2018人教A版选修2-12.2.1 双曲线及其标准方程第1页

 2.2.1 双曲线及其标准方程

◆ 知识与技能目标

  理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法.

◆ 过程与方法目标

(1)预习与引入过程

  预习教科书56页至60页,当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面与圆锥的轴线或平行时,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线;第二、你能举出现实生活中双曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究P56页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条(一条约10cm长,另一条约6cm每条一端结一个套)和笔尖带小环的铅笔一枝,教师准备无弹性细绳子两条(一条约20cm,另一条约12cm,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子的另一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是双曲线.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗§2.2.1双曲线及其标准方程.

(2)新课讲授过程

(i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义.

  〖板书〗把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola).其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即当动点设为时,双曲线即为点集.

(ii)双曲线标准方程的推导过程

  提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.

  无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程.

类比椭圆:设参量的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、的关系有明显的几何意义.

类比:写出焦点在轴上,中心在原点的双曲线的标准方程.

 (iii)例题讲解、引申与补充

  例1 已知双曲线两个焦点分别为,,双曲线上一点到,距离差的绝对值等于,求双曲线的标准方程.

分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出.

补充:求下列动圆的圆心的轨迹方程:① 与⊙:内切,且