2017-2018人教A版选修2-12.2.1 双曲线及其标准方程
2017-2018人教A版选修2-12.2.1 双曲线及其标准方程第2页

 点;② 与⊙:和⊙:都外切;③ 与⊙:外切,且与⊙:内切.

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆的半径为.

① ∵⊙与⊙内切,点在⊙外,∴,,因此有,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,即的轨迹方程是;

  ② ∵⊙与⊙、⊙均外切,∴,,因此有,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,∴的轨迹方程是;

  ③ ∵与外切,且与内切,∴,,因此,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,∴的轨迹方程是.

   例2 已知,两地相距,在地听到炮弹爆炸声比在地晚,且声速为,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及,两地听到爆炸声的时间差,即可知,两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.

扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚.已知各观察点到该中心的距离都是.试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为;相关点均在同一平面内).

解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比正西晚,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.

如图,以接报中心为原点,正东、正北方向分别为轴、轴方向,建立直角坐标系,设、、分别是西、东、北观察点,则,,.

设为巨响发生点,∵、同时听到巨响,∴所在直线为......①,又因点比点晚听到巨响声,∴.由双曲线定义知