1.1.3 三个正数的算术几何平均数

　　一、教学目标

　　1．探索并了解三个正数的算术­几何平均不等式的证明过程．

　　2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

　　3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

　　二、课时安排

　　1课时

　　三、教学重点

　　会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

　　四、教学难点

　　会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

　　五、教学过程

　　（一）导入新课

　　已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.

　　【证明】　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥

　　3>0,1＋x2＋y≥3>0，

　　故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.

　　（二）讲授新课

　　教材整理1　三个正数的算术­几何平均不等式

　　1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3 3abc，当且仅当 时，等号成立．

　　2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立．

　　即三个正数的算术平均 它们的几何平均．

　　教材整理2　基本不等式的推广

　　对于n个正数a1，a2，...，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当a1＝a2＝...＝an时，等号成立．

　　教材整理3　利用基本不等式求最值

若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 时，积abc有 值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和 有最小值．