典题精讲

例1 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.

思路分析:考查平面向量共线的条件及其应用.转化为证明向量∥.

解:依题意，知i=(1，0)，j=(0，1)，

则=(1，0)-2(0，1)=(1，-2)，

=(1，0)+m(0，1)=(1，m).

∵、共线，∴1×m-1×(-2)=0.

∴m=-2.即当m=-2时，A、B、C三点共线.

绿色通道:点共线问题通常化归为向量共线问题，坐标法实现了向量的代数化，运算时方便、简洁，因此坐标法是解决向量问题的重要方法.

变式训练1已知向量=(k,12)，=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线，则k=______________.

思路解析：由于A、B、C三点共线，则∥,又=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)，=(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得k=-.

答案：-

变式训练 2 已知向量a=(3，4)，b=(sinα,cosα)，且a∥b，则tanα的值为( )

A. B.- C. D.-

思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a∥b，且a=(3，4)，b=(sinα,cosα)，所以3cosα=4sinα=0，则有3cosα=4sinα，显然cosα≠0.于是tanα==.

答案:A

变式训练 3已知向量a=(8，x)，b=(x，1)，其中 x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为( )

A.4 B.8 C.0 D.2

思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.

∵(a-2b)=(8-2x,x-2),(2a+b)=(16+x,x+1),

∴(8-2x)(x+1)-(x-2)(16+x)=0.

∴x=4或x=-5(舍去).

答案:A

例2 如图2-2-1所示，ABCD的两条对角线交于点M，且=a,=b,用a,b表