2018-2019学年北师大版选修4-5 简单形式的柯西不等式 学案

学习目标

1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.

2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.

预习自测

1.柯西不等式

若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号成立⇔ad＝bc.

2.柯西不等式的向量形式

设α，β为平面上的两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.

自主探究

1.如何证明：a1，a2，b1，b2∈R时，(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2?

提示　(a＋a)(b＋b)－(a1b1＋a2b2)2≥0

⇔ab＋ab＋ab＋ab－ab－ab－2a1b1a2b2≥0

⇔ab－2a1b1a2b2＋ab≥0

⇔(a1b2－a2b1)2≥0.

上式中等号成立⇔a1b2＝a2b1.

2.设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，你能证明|α||β|≥|α·β|吗？

提示　∵cos〈α，β〉＝＝，

∴cos2〈α，β〉＝≤1，

即(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，

·≥|a1b1＋a2b2|.

∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为α＝λβ (λ≠0).

典例剖析

知识点1　利用柯西不等式证明不等式