1．4绝对值的三角不等式

　　[读教材·填要点]

　　绝对值的三角不等式

　　(1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.

　　当且仅当ab≥0时，等号成立．

　　(2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．

　　①推论1：||a|－|b||≤|a＋b|

　　②推论2：||a|－|b||≤|a－b|

　　[小问题·大思维]

　　1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？

　　提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

　　2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中"＝"成立的条件分别是什么？

　　提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧"＝"成立的条件是ab≥0，左侧"＝"成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧"＝"成立的条件是ab≤0，左侧"＝"成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

　　3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？

　　提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.

绝对值的三角不等式的应用 　　

　　[例1]　(1)以下四个命题：

　　①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；

　　②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；

③若|x|＜2，|y|＞3，则||＜；