2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案:4.2用数学归纳法证明不等式举例导学案 Word版含解析
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  4.2 用数学归纳法证明不等式举例

  学习目标

  1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路.

  2.会用数学归纳法证明贝努利不等式:(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的自然数).

  3.了解n为实数时贝努利不等式也成立.

  一、自学释疑

  根据线上提交的自学检测,生生、师生交流讨论,纠正共性问题。

  

  二、合作探究

  思考探究 

  在应用贝努利不等式时应注意什么?

  

  

  

  名师点拨:

  1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解

  当指数n推广到任意实数α时,x>-1时,

  ①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx.

  ②若α<0或α>1,则(1+x)α≥1+αx.

  当且仅当x=0时等号成立.

  

  2.贝努利不等式的应用

  贝努利不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n>1+nx.

  推论:当x是实数,且x>-1,x≠0,n为不小于2的正整数时,有n>1-.

  

  3.数学归纳法与其他方法的联系

  数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与正整数有关的不等式,其他证明不等式的方法运用比较广泛,但在具体应用时,各自又有具体的要求,如反证法,必须有严格的格式(以否定结论入手,推出矛盾),分析法也有独特的表达格式,而数学归纳法必须分两步且在第二步中,要从假设出发推证n=k+1命题正确时,也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等.

  

  4.用数学归纳法证明不等式时常用技巧

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时,要注意初始值n0的定位,要弄清楚n=k和