本章复习

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　　　　　　　　　　　　（共 1 课时） 修改与创新 教学

目标 通过总结和归纳本章的知识,使学生进一步了解随机事件,了解概率的意义,掌握各种概率的计算公式,能够用所学知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,让概率更好地为人类服务. 教学重、

难点 概率的意义及求法,频率与概率的关系,概率的主要性质,古典概率的特征及概率公式的应用,几何概率意义的理解及会求出简单的几何概率.

教学

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导入新课

为了系统掌握本章的知识,我们复习本章内容,教师直接点出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

1.随机事件的概率包括几部分?

2.古典概型包括几部分?

3.几何概型包括几部分?

4.本章涉及的主要数学思想是什么?

5.画出本章的知识结构图.

讨论结果：

1.随机事件的概率

随机事件是本章的主要研究对象,基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件.

（1）概率的概念

在大量重复进行的同一试验中,事件A发生的频率总是接近于某一常数,且在它的附近摆动,这个常数就是事件A的概率P（A）,概率是从数量上反映一个事件.

求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.

（2）概率的意义与性质

①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量,事件A的概率越大,其发生的可能性就越大；概率越小,事件A发生的可能性就越小.

②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在［0,1］之间,从而任何事件的概率在［0,1］之间,即：0≤P（A）≤1.

概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥,则P（A∪B）=P（A）+P（B）.

（3）频率与概率的关系与区别

频率是概率的近似值.随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,频率本身也是随机的,两次同样的试验,会得到不同的结果；而概率是一个确定的数,与每次试验无关.

2.古典概型

（1）古典概型

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.

（2）古典概型的概率计算公式为：P（A）=.

在使用古典概型的概率公式时,应该注意：

①要判断该概率模型是不是古典概型；

②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性.要学会把一些实际问题化为古典概型,不要把重点放在"如何计数"上.

3.几何概型

（1）对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.

（2）几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

②每个基本事件出现的可能性相等.

（3）几何概型的概率公式：P（A）=.

几何概型研究的是随机事件的结果有无限多个,且事件的发生只与区域的长度（面积或体积）成比例的概率问题.

（4）随机数是在一定范围内随机产生的数,可以利用计算器或计算机产生随机数来作模拟试验,估计概率,学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据,进行模拟活动,从而更好地体会概率的意义.

4.本章涉及的主要思想是化归与转化思想

（1）古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n,二是事件A所包含的结果数m,最后化归为公式P（A）=.[ ]

（2）几何概型中,要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度,最后化归为几何概型的概率公式求解.

5.如图[ ]

应用示例

例1 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).

（Ⅰ）连续抛掷2次,求向上的数不同的概率；

（Ⅱ）连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率.

活动：本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决实际问题的能力.

解：（Ⅰ）设A表示事件"抛掷2次,向上的数不同",则P(A)=.

抛掷2次,向上的数不同的概率为.

（Ⅱ）设B表示事件"抛掷2次,向上的数之和为6".

∵向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种,

∴P(B)=.

抛掷2次,向上的数之和为6的概率为.

例2 甲盒中有红,黑,白三种颜色的球各3个,乙盒子中有黄,黑,白三种颜色的球各2个,从两个盒子中各取1个球.（1）求取出的两个球是不同颜色的概率.（2）请设计一种随机模拟的方法,来近似计算（1）中取出的两个球是不同颜色的概率（写出模拟的步骤）.

活动：学生思考交流,教师引导,各种颜色的球被取到的可能性相同,属于古典概型,可以利用古典概型的知识解决.

解：（1）设A="取出的两球是相同颜色",B="取出的两球是不同颜色",则事件A的概率为：P（A）=.由于事件A与事件B是对立事件,所以事件B的概率为：P（B）=1-P（A）=.

（2）随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生1-3和2-4两组取整数值的随机数,每组各有N个随机数.用"1"表示取到红球,用"2"表示取到黑球,用"3"表示取到白球,用"4"表示取到黄球.第2步：统计两组对应的N对随机数中,每对中的两个数字不同的对数n.第3步：计算的值.则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值.

例3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.

解：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在平面上建立直角坐标系如右图中的阴影部分所表示.

这是一个几何概型问题,由几何概型的概率公式,得P(A)=.

例4 如右图,在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m之外向此板投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时都不算（可重投）,问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？

[ ]

解：整个正方形木板的面积,即基本事件所占的区域总面积为μΩ=16×16=256 cm2.

记"投中大圆内"为事件A,"投中小圆与中圆形成的圆环"为事件B,"投中大圆之外"为事件C,则事件A所占区域面积为μA=π×62=36π cm2；事件B所占区域面积为μB=π×42-π×22=12π cm2；事件C所占区域面积为μC=(256-36π) cm2.由几何概型的概率公式,得(1)P(A)=；(2)P(B)=；(3)P(C)=.

点评：对于（3）的求解,也可以直接应用对立事件的性质P(A)=1-P()求解.

知能训练

1.下列说法正确的是( )

A.任何事件的概率总是在（0,1）之间

B.频率是客观存在的,与试验次数无关

C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的,在试验前不能确定[ ]

答案：C

2.掷一枚骰子,则掷得奇数点的概率是（ ）

A. B. C. D.

答案：B

3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( )

A. B. C. D.

答案：D

4.从一批产品中取出三件产品,设A="三件产品全不是次品",B="三件产品全是次品",C="三件产品不全是次品",则下列结论正确的是( )

A.A与C互斥 B.B与C互斥

C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥

答案：B

5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在［4.8,4.85］(g)范围内的概率是( )

A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68

答案：C

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则出现两个正面朝上的概率是( )

A. B. C. D.

答案：B

7.甲、乙两人随意入住两间空房,则甲、乙两人各住一间房的概率是( )

A. B. C. D.无法确定

答案：C

8.如右图所示,随机在图中撒一把豆子,则它落到阴影部分的概率是( )

A. B. C. D.

答案：C

9.任意投掷3枚硬币,（1）写出所有可能出现的试验结果；

（2）写出恰有一枚硬币正面朝上的可能的结果；

（3）求出现一正二反的概率.

解：（1）可能的结果有（上,上,上）,（上,上,下）,（上,下,上）,（下,上,上）,（上,下,下）,（下,上,下）,（下,下,上）,（下,下,下）8种可能.

（2）其中恰有一枚硬币正面朝上有（上,下,下）,（下,上,下）,（下,下,上）3种不同的结果.（3）概率为.

10.有两组相同的牌,每组三张,它们的牌面数字分别是1、2、3,现从每组牌中各摸出一张牌,问：

（1）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？

（2）两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？

（3）两张牌的牌面数字和是奇数的概率是多少？

答案：(1)和为4的概率最大；(2)两张牌的牌面数字和为4的概率为；(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是.

拓展提升

1.（2007宁夏高考文）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数,b是从0，1，2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

（Ⅱ）若a是从区间［0，3］任取的一个数,b是从区间［0，2］任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

解：设事件A为"方程x2+2ax+b2=0有实根".

当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.

（Ⅰ）基本事件共12个：

(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,

事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为P(A)==.

（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2},

构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b},

所以所求的概率为=.

2.如右图,在边长为25 cm的正方形中挖去边长为23 cm的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

活动：学生读题,教师引导提示,因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.

解：设A="粒子落在中间带形区域",则依题意得正方形面积为：25×25=625 cm2,两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23=529 cm2,带形区域的面积为：625-529=96 cm2,∴P（A）=.

课堂小结

同统计一样,概率也是一门实践性很强的数学分支,与日常生活联系紧密.现实生活中存在大量的随机事件,在一次试验中它的发生是随机的,可是借助大量的重复试验就会发现它的发生又具有某种规律,体现了"随机性与规律性,偶然性中蕴含着必然性"的唯物辩证观点,概率的意义及求法,频率与概率的关系,概率的主要性质,古典概率的特征及概率公式的应用,几何概率意义的理解及会求出简单的几何概率等都是要掌握的重点内容,内容涉及了今年的高考题,要切实注意,同时由于这部分内容与其他内容联系较少,要多加练习,达到熟练的目的.

作业

复习参考题任选3题