4．3.3　三次函数的性质：单调区间和极值

　　[读教材·填要点]

　　1．三次函数的性质：单调区间和极值

　　设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数．

　　(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，则：

　　①若a＞0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；

　　②若a＜0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．

　　(2)函数F′(x)有一个零点x＝w，则：

　　①若a＞0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；

　　②若a＜0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．

　　(3)函数F′(x)有两个零点，x＝u和x＝v，设u＜v，则：

　　①若a＞0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增．

　　可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．

　　②若a＜0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减．

　　可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．

　　2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤

　　(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

　　(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

　　[小问题·大思维]

　　1．根据三次函数的性质能否画出其图象草图？

　　提示：根据三次函数的单调性、极值，可以画出．

　　2．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？

提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．